If the distribution of movie durations is symmetric around the mean of 1.5 hours following a bell curve and if the standard deviation is 20 minutes, approximately what percentage of all movies are longer than 110 minutes?

কেন্দ্রীয় প্রবণতা (Central Tendency): অনুসন্ধানাধীন অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ মানের ক্রমানুসারে সাজালে, উপাত্তসমূহ মাঝামাঝি কোনো মানের কাছাকাছি পুঞ্জিভূত হয়। আবার অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ গণসংখ্যা নিবেশন সারণিতে উপস্থাপন করা হলে মাঝামাঝি একটি শ্রেণিতে গণসংখ্যার প্রাচুর্য দেখা যায়। অর্থাৎ, মাঝামাঝি একটি শ্রেণিতে গণসংখ্যা খুব বেশি হয়। বস্তুত উপাত্তসমূহের কেন্দ্রীয় মানের দিকে পুঞ্জিভূত হওয়ার এই প্রবণতাই হলো কেন্দ্রীয় প্রবণতা। কেন্দ্রীয় মান একটি সংখ্যা এবং এই সংখ্যা উপাত্তসমূহের প্রতিনিধিত্ব করে। এই সংখ্যা দ্বারা কেন্দ্রীয় প্রবণতা পরিমাপ করা হয়। সাধারণত কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ হলো: (১) গাণিতিক গড় (২) মধ্যক (৩) প্রচুরক।

কেন্দ্রীয় প্রবণতা (Central Tendency)

কেন্দ্রীয় প্রবণতা হলো পরিসংখ্যানের এমন একটি ধারণা যেখানে কোনো তথ্যসমষ্টির কেন্দ্র বা প্রতিনিধিত্বকারী মান নির্ণয় করা হয়। এই মান দ্বারা পুরো তথ্যের সাধারণ প্রবণতা বোঝা যায়।

কেন্দ্রীয় প্রবণতার প্রধান পরিমাপ

• গড় (Mean)
• মধ্যক (Median)
• মোড (Mode)

১. গড় (Mean)

সব তথ্যের মান যোগ করে মোট তথ্যসংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে গড় পাওয়া যায়।

$\mathrm{Mean}=\frac{\Sigma x}{n}$

এখানে, Σx = সব মানের যোগফল, n = মোট মানের সংখ্যা

২. মধ্যক (Median)

তথ্যগুলোকে ছোট থেকে বড় ক্রমে সাজালে মাঝখানের মানকে মধ্যক বলা হয়।

যদি তথ্যের সংখ্যা বিজোড় হয়, তবে মাঝের একটি মানই মধ্যক।

যদি তথ্যের সংখ্যা জোড় হয়, তবে মাঝের দুইটি মানের গড় হবে মধ্যক।

৩. মোড (Mode)

যে মানটি সবচেয়ে বেশি বার ঘটে তাকে মোড বা সর্বাধিক মান বলা হয়।

অসংগৃহীত (Ungrouped) ডেটার ক্ষেত্রে

যে মানটি সবচেয়ে বেশি পুনরাবৃত্তি হয় সেটিই মোড।

উদাহরণ

তথ্য: 2, 3, 3, 5, 7, 3, 8

এখানে মোড = 3 (কারণ 3 সবচেয়ে বেশি বার এসেছে)

কেন্দ্রীয় প্রবণতার সম্পর্ক

কিছু ক্ষেত্রে গড়, মধ্যক ও মোড প্রায় কাছাকাছি থাকে এবং তথ্যের কেন্দ্রীয় প্রবণতা বোঝাতে সাহায্য করে।

গড়, মধ্যক ও মোডের তুলনা

• গড়: সব মানের উপর নির্ভর করে
• মধ্যক: অবস্থান ভিত্তিক মান
• মোড: পুনরাবৃত্ত মানের উপর নির্ভর করে

মনে রাখার উপায়

Mean = হিসাবভিত্তিক গড়, Median = মাঝের মান, Mode = সবচেয়ে বেশি বার আসা মান

গাণিতিক গড় (Arithmetic Average or Mean) : আমরা জানি, উপাত্তসমূহের মানের সমষ্টিকে যদি তার সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে উপাত্তসমূহের গড় মান পাওয়া যায়। তবে উপাত্তসমূহের সংখ্যা যদি খুব বেশি হয় তাহলে এ পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় করা সময়সাপেক্ষ, বেশ কঠিন ও ভুল হওয়ার সম্ভাবনা থাকে। এ সকল ক্ষেত্রে উপাত্তসমূহ শ্রেণি বিন্যাসের মাধ্যমে সারণিবদ্ধ করে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় করা হয়।

উদাহরণ ৭. নিচে কোনো একটি শ্রেণির শিক্ষার্থীদের গণিতে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো। প্রাপ্ত নম্বরের গাণিতিক গড় নির্ণয় কর।

সমাধান : এখানে শ্রেণি ব্যাপ্তি দেওয়া আছে বিধায় শিক্ষার্থীদের ব্যক্তিগত নম্বর কত তা জানা যায় না। এ ক্ষেত্রে প্রত্যেক শ্রেণির শ্রেণি মধ্যমান নির্ণয় করার প্রয়োজন হয়।

নির্ণেয় গাণিতিক গড়

শ্রেণিবিন্যাসকৃত উপাত্তের গাণিতিক গড় (সহজ পদ্ধতি) : শ্রেণিবিন্যাসকৃত উপাত্তের গাণিতিক গড় নির্ণয়ের জন্য সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি হলো সহজ পদ্ধতি, যাতে গড় নির্ণয়ের ধাপসমূহ নিম্নরূপ :

১. শ্রেণিসমূহের মধ্যমান নির্ণয় করা

২. মধ্যমানসমূহ থেকে সুবিধাজনক কোনো মানকে আনুমানিক গড় (a) ধরা

৩. প্রত্যেক শ্রেণির মধ্যমান থেকে আনুমানিক গড় বিয়োগ করে একে শ্রেণি ব্যাপ্তি দ্বারা ভাগ করে

৪. ধাপ বিচ্যুতিকে সংশ্লিষ্ট শ্রেণির গণসংখ্যা দ্বারা গুণ করা

৫. বিচ্যুতির গড় নির্ণয় করা এবং এর সাথে আনুমানিক গড় যোগ করে কাঙ্খিত গড় নির্ণয় করা ।

সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি : শ্রেণিবিন্যাসকৃত উপাত্তসমূহের গাণিতিক গড়

উদাহরণ ৮. কোনো দ্রব্যের উৎপাদনে বিভিন্ন পর্যায়ে যে খরচসমূহ (শত টাকায়) হয় তা নিচের সারণিতে দেখানো হয়েছে। সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় খরচ নির্ণয় কর।

সমাধান : সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে অনুসৃত ধাপের আলোকে গড় নির্ণয়ের সারণি হবে নিম্নরূপ :

গুরুত্ব যুক্ত উপাত্তের গড় নির্ণয় (Determination of Weighted Average) : অনেক ক্ষেত্রে অনুসন্ধানাধীন পরিসংখ্যানের চলকের সাংখ্যিক মান $x_1, x_2, . . . x_n$ বিভিন্ন কারণ/গুরুত্ব/ভার দ্বারা প্রভাবিত হতে পারে । এ সকল ক্ষেত্রে উপাত্তের মান $x_1, x_2, , . . . x_n$ এর সাথে এদের কারণ/গুরুত্ব/ভার $w_1, w_2, . . . w_n$ বিবেচনা করে গাণিতিক গড় নির্ণয় করতে হয়। যদি n সংখ্যক উপাত্তের মান $x_1, x_2, , . . . x_n$ হয় এবং এদের গুরুত্ব $w_1, w_2, . . . w_n$ হয়, তবে এদের গুরুত্ব প্রদত্ত গাণিতিক গড় হবে :

উদাহরণ ৯. কোনো বিশ্ববিদ্যালয়ের কয়েকটি বিভাগের স্নাতক সম্মান শ্রেণিতে পাশের হার ও শিক্ষার্থীর সংখ্যা নিচের সারণিতে উপস্থাপন করা হলো। উক্ত বিশ্ববিদ্যালয়ের ঐ কয়টি বিভাগের স্নাতক সম্মান শ্রেণিতে পাশের গড় হার নির্ণয় কর।

সমাধান : এখানে পাশের হার ও শিক্ষার্থীর সংখ্যা দেওয়া আছে। পাশের হারের ভার হলো শিক্ষার্থীর সংখ্যা। যদি পাশের হারের চলক x এবং শিক্ষার্থীর সংখ্যা চলক . ধরা হয়, তবে গুরুত্ব প্রদত্ত গাণিতিক গড় নির্ণয়ের সারণি হবে নিম্নরূপ :

$\therefore$ পাশের গড় হার 77.14

মধ্যক (Median): ৮ম শ্রেণিতে আমরা শিখেছি যে, পরিসংখ্যানের উপাত্তগুলো মানের ক্রমানুসারে সাজালে যেসকল উপাত্ত ঠিক মাঝখানে থাকে সেইগুলোর মানই হবে উপাত্তগুলোর মধ্যক। যদি উপাত্তের সংখ্যা n হয় এবং n যদি বিজোড় সংখ্যা হয় তবে মধ্যক হবে $\frac{n+1}{2}$ তম পদের মান। আর n যদি জোড় সংখ্যা হয় তবে মধ্যক হবে $\frac{n}{2}$ তম ও $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ তম পদ দুইটির সাংখ্যিক মানের গড়। এখানে সূত্র ব্যবহার না করে এবং ব্যবহার করে কীভাবে মধ্যক নির্ণয় করা হয় তা উদাহরণের মাধ্যমে উপস্থাপন করা হলো।

উদাহরণ ১০. নিচের 51 জন শিক্ষার্থীর উচ্চতার গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো। মধ্যক নির্ণয় কর।

সমাধান : মধ্যক নির্ণয়ের ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি :

নির্ণেয় মধ্যক 165 সে.মি.।

লক্ষ করি : 23 থেকে 38 তম পদের মান 165 ।

উদাহরণ ১১. নিচে 60 জন শিক্ষার্থীর গণিতে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি। মধ্যক নির্ণয় কর।

সমাধান : মধ্যক নির্ণয়ের ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি :

এখানে, n = 60, যা জোড় সংখ্যা।

$\therefore$ নির্ণেয় মধ্যক 75 ।

উদাহরণ ১২. নিচে একটি গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া আছে।

ক) গণসংখ্যা নিবেশন সারণি বলতে কী বুঝ?

খ) উপরের গণসংখ্যা সারণি থেকে মধ্যক নির্ণয় কর।

গ) তারপর সারণিতে প্রদত্ত উপাত্তের বহুভুজ অঙ্কন কর।

সমাধান :

ক) প্রদত্ত উপাত্তসমূহকে নির্দিষ্ট শ্রেণি ব্যবধান ও শ্রেণি সংখ্যা নির্ধারণের মাধ্যমে বিন্যস্ত ও সারণিভুক্ত করাকে গণসংখ্যা সারণি বলে।

খ) মধ্যক নির্ণয়ের জন্য গণসংখ্যা নিবেশন সারণি :

প্রচুরক (Mode) : ৮ম শ্রেণিতে আমরা শিখেছি যে, কোনো উপাত্তে যে সংখ্যা সর্বাধিক বার উপস্থাপিত হয়, সেই সংখ্যাই উপাত্তের প্রচুরক। একটি উপাত্তের এক বা একাধিক প্রচুরক থাকতে পারে। কোন উপাত্তে যদি কোন সংখ্যাই একাধিকবার না থাকে তবে সেই উপাত্তে কোন প্রচুরক নেই। এখানে সূত্র ব্যবহার করে কীভাবে শ্রেণিবিন্যস্ত উপাত্তের প্রচুরক নির্ণয় করতে হয় তাই আলোচনা করা হলো।

উদাহরণ ১৩. নিচের সারণিটি লক্ষ কর।

ক) কেন্দ্রীয় প্রবণতা কী?

খ) প্রদত্ত সারণি থেকে প্রচুরক নির্ণয় কর।

গ) উপাত্তের অজিভ রেখা অঙ্কন কর।

সমাধান :

ক) অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ মানের ক্রমানুসারে সাজালে, উপাত্তসমূহ মাঝামাঝি কোনো মানের কাছাকাছি পুঞ্জিভূত হয়। আবার উপাত্তসমূহ গণসংখ্যা নিবেশন সারণিতে উপস্থাপন করা হলে কোনো একটি শ্রেণিতে গণসংখ্যার প্রাচুর্য দেখা যায়। উপাত্তসমূহের কেন্দ্রীয় মানের দিকে পুঞ্জিভূত হওয়ার এই প্রবণতাকে কেন্দ্রীয় প্রবণতা বলে।

খ) প্রচুরক নির্ণয়ের সারণি :

গ) অজিভ রেখা অঙ্কনের জন্য সারণি :

উদাহরণ ১৪. নিচের গণসংখ্যা নিবেশন সারনি থেকে প্রচুরক নির্ণয় কর :

সমাধান : এখানে গণসংখ্যা সর্বাধিক 25 বার আছে (41 – 50 ) শ্রেণিতে। সুতরাং, প্রচুরক এই শ্রেণিতে আছে।

উদাহরণ ১৫. নিচের গণসংখ্যা নিবেশন সারনি থেকে প্রচুরক নির্ণয় কর :

সমাধান :

এখানে গণসংখ্যা সর্বাধিক 25 বার আছে (41 – 50) শ্রেণিতে। এই শ্রেণিতে প্রচুরক বিদ্যমান। আমরা জানি প্রচুরক